Narkissos’un Aynası ve Sayıların Oyunu: Armstrong Sayıları
Matematiksel evren genellikle asal sayıların kaotik dağılımı veya karmaşık denklemlerin derinlikleriyle dolu uçsuz bucaksız bir okyanus gibidir. Ancak bu ciddi ve derin suların kıyısında bazen sadece estetik duruşları ve simetrik yapılarıyla bizi kendine çeken özel adalar bulunur. Sayılar teorisinin bu en renkli üyelerinden biri literatürde Armstrong sayıları veya daha şiirsel adıyla Narsisistik sayılar olarak bilinir. Bir doğal sayının kendi rakamlarının basamak sayısı kadar kuvvetleri alınıp toplandığında yeniden kendisine eşit olması durumu matematiksel bir geri dönüşü temsil eder. Peki nedir bu sayıları hem bir efsaneye hem de bilgisayar bilimlerinin temel bir dersine dönüştüren sır?
Bu sayıların tanımı aslında oldukça basittir ancak barındırdığı simetri büyüleyicidir. En bilinen örnek olan 153 sayısını ele alalım. Bu sayı üç basamaklıdır. Rakamlarının her birinin üçüncü kuvvetini alıp topladığımızda sonuç yine 153 eder. Sayı adeta kendi parçalarından yola çıkarak kendini yeniden var etmektedir. Bu özellik sayının kendine aşık olması metaforunu doğurmuş ve ismini Yunan mitolojisindeki kendi yansımasına aşık olan Narkissos efsanesinden almasına neden olmuştur.
Bu estetik duruş matematikçiler arasında farklı tepkilere yol açmıştır. Ünlü matematikçi G.H. Hardy bu sayıları bulmaca sütunlarına uygun ve amatörleri eğlendiren oyuncaklar olarak görmüş ve matematiksel derinlikten yoksun bulmuştur. Hardy için bir sayının asal olması evrensel bir gerçekken narsisistik olması sadece kullandığımız onluk taban sistemine bağlı bir tesadüftü. Ancak bu tesadüf insan zihninin kendini üreten sistemlere olan hayranlığını hiçbir zaman azaltmadı.
Bir Şakadan Ders Kitaplarına
Bu sayıların Armstrong adını almasının hikayesi ise oldukça ilginçtir ve akademik ciddiyetle ince bir mizahın kesişim noktasında durur. 1960’larda Michael F. Armstrong adında bir sistem programcısı bu sayıları Fortran dersi verdiği öğrencileri için bir alıştırma olarak icat etmiştir. Armstrong bu ödevi aslında ciddi görünen ama pek de amacı olmayan akademik makalelerle dalga geçmek amacıyla bir parodi olarak hazırladığını belirtmiştir.
Ancak bu pedagojik deney beklenmedik bir şekilde küresel bir fenomene dönüşmüştür. O dönemdeki bilgisayarların işlem gücü sınırlı olduğundan öğrencilerin bu sayıları bulabilmesi için ciddi bir algoritma optimizasyonu yapmaları gerekiyordu. Böylece Michael Armstrong’un masum şakası bugün dünyanın dört bir yanındaki bilgisayar mühendisliği öğrencilerinin döngüler ve koşullu ifadeleri öğrenirken çözdüğü standart bir probleme dönüştü.
Sonsuzluğun Sınırı Neresi?
İnsan zihni doğası gereği bu tür sayıların sonsuza kadar gidip gitmediğini merak eder. Asal sayılar sonsuzdur ancak Armstrong sayıları için yolun bir sonu vardır. Matematiksel analizler 60 basamaktan daha büyük bir Armstrong sayısının var olmasının imkansız olduğunu gösterir. Çünkü belirli bir noktadan sonra sayının kendi değeri rakamlarının kuvvetleri toplamından çok daha hızlı büyür.
Yapılan hassas hesaplamalar ve algoritmik taramalar sonucunda onluk tabandaki en büyük Armstrong sayısının 39 basamaklı olduğu kanıtlanmıştır. Bu sayı 115 ile başlayıp 401 ile biten devasa bir sayıdır ve bu kümenin zirvesini temsil eder. Toplamda 0 dahil edildiğinde sadece 89 adet Armstrong sayısı bulunur ve bu liste artık tamamlanmıştır. Yani yeni bir Armstrong sayısı keşfetmek artık mümkün değildir.
Algoritmaların Gücü
Bu sınırlı kümeyi bulmak bilgisayar bilimcileri için sadece bir toplama işlemi değil aynı zamanda verimlilik testidir. 39 basamaklı sayılara kadar tüm ihtimalleri tek tek denemek evrenin yaşından daha uzun sürecek bir işlemdir. Bu noktada kaba kuvvet yerine zeka devreye girer.
Çözüm sayıları değil rakam kombinasyonlarını kontrol etmekten geçer. Çünkü toplama işlemi sıradan bağımsızdır; yani 123 sayısı için yapılan hesaplama ile 321 sayısı için yapılan hesaplama aynı sonucu verir. Bu basit içgörü trilyonlarca işlemi saniyeler içinde çözülebilecek makul bir seviyeye indirger. İşte bu yüzden Armstrong sayıları programlama eğitiminde sadece bir alıştırma değil aynı zamanda algoritmik düşünceye geçişin bir kapısıdır.
Narkissos belki sudaki yansımasına bakıp kaybolmuş olabilir ancak matematikçiler ve yazılımcılar sayıların bu yansımasında bir düzen ve simetri bulmuşlardır. 153 ile başlayan bu yolculuk bize sayıların sadece soğuk nicelikler olmadığını aynı zamanda kendi içlerinde tutarlı bir estetiğe ve hikayeye sahip olduklarını hatırlatır. Bir sonraki sefer bir sayı ile karşılaştığınızda onun sadece bir miktar belirtmediğini belki de kendi parçalarının toplamından yeniden doğan bir hikayesi olabileceğini düşünün.
