Matematik Eğitiminde Kırılma Anları: Euler’in Asal Formülü

Matematik bazen sihir gibi görünür. Bir formül bulursunuz ve çalışır. Tekrar denersiniz yine çalışır. Bu bize büyük bir güven verir. Eğitimde de böyle anları severiz. Öğrenci bir “kural” yakaladığında mutlu oluruz. Peki bu kurallar bizi ne kadar ileri götürebilir?

Gelin ünlü matematikçi Euler’in ilginç bir denemesine bakalım. Euler asal sayılar üreten basit bir formül arıyordu. Şöyle bir polinom önerdi:

P(n) = n^2 + n + 41

Bu formülün amacı n yerine koyduğumuz tam sayılar için bize asal sayılar vermesiydi.

Deneyelim mi? 

• n=0 için P(0) = 0^2 + 0 + 41 = 41. Bu bir asal sayı. Harika.

• n=1 için P(1) = 1^2 + 1 + 41 = 43. Bu da asal.

• n=2 için P(2) = 2^2 + 2 + 41 = 4 + 2 + 41 = 47. Yine asal.

İnanılmaz görünüyor değil mi? Bu formül n=0 değerinden başlayarak n=39 değerine kadar tam 40 kez ardışık olarak asal sayılar üretir. Kırk defa. Matematikte bu kadar uzun süre çalışan bir örüntü çok dikkat çekicidir.

İşte tam bu noktada bir öğrenci veya bir araştırmacı şu soruyu sorar: Tamam formülü bulduk. Bu hep çalışır mı?

Bir öğretmen olarak sormam gereken kritik soru şudur: n=40 için ne olur?

Hesaplayalım.

P(40) = 40^2 + 40 + 41

P(40) = 1600 + 40 + 41 = 1681

Peki 1681 sayısı asal mı?

Hayır. 1681 = 41 x 41.

Formülümüz tam 40 başarılı adımdan sonra ilk kez başarısız oldu.

İşte bu an matematik eğitiminin tam kalbidir. Euler’in formülü “yanlış” veya “değersiz” değildir. O sadece her zaman geçerli bir kural değildir. O bir örüntüdür. Çok güçlü bir örüntüdür ama bir ispat değildir.

Eğitimde biz ne yapıyoruz? Çoğu zaman öğrencilere n=0 ile n=39 arasındaki bölümü gösteriyoruz. Onlara çalışan formülleri veriyoruz. Onlar da ezberliyor. Sınavda da bu çalışan kısımları soruyoruz.

Ama asıl öğrenme nerede başlar? Asıl öğrenme n=40 anında başlar.

Formülün bozulduğu yerde. O “Neden şimdi çalışmadı?” sorusunu sorduğumuz anda. Matematik 40 kez çalışan bir kuralı bulmak değil o kuralın neden 41. kez çalışmadığını anlamaktır.

Bu polinom bize çok değerli bir ders veriyor. Matematik bir varsayımlar ve ispatlar bilimidir. Bir şeyin 40 kez hatta bin kez doğru olması onun her zaman doğru olacağını garantilemez.

Eğitimde amacımız sadece cevapları bulan öğrenciler yetiştirmek mi olmalı? Yoksa n=40 anıyla karşılaştığında yılmayan o anı sorgulayan ve daha derin doğrular arayan bireyler mi yetiştirmeliyiz?

Ezberlediğimiz formüllerin bizi yarı yolda bıraktığı o anlarda ne yapıyoruz?