Negatif İki Sayının Çarpımı Neden Pozitiftir?
“Düşmanımın düşmanı dostumdur.” şeklinde kodladığımız negatif iki sayının çarpımının neden pozitif olduğunu hiç düşündünüz mü? İlk başta biraz garip gelebilir ama aslında mantıklı bir açıklaması var. Hadi beraber inceleyelim!
Yapacağımız ispatta birkaç bilgiye önceden sahip olmamız gerekmektedir.
Çarpma, tekrar eden toplama işlemidir. Aşağıda 3 tane 4 ün tekrarlı toplama işlemi çarpma olarak verilmiştir:
Bir pozitif bir negatif sayıda da aynı mantığı düşünebiliriz. -3’ü 2 defa art arda toplarsak sonucumuz -6 olur. Yani pozitif bir sayının negatif bir sayıyla çarpımı negatiftir:
Bir sayının toplama işlemine göre tersi ile toplamının da sıfır olduğunu bilmeliyiz:
Bir sayının sıfır ile çarpımı sıfırdır. Bu yüzden 0’a çarpma işlemine göre yutan eleman deriz:
Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerinde dağılma özelliği vardır:
Bu bilgileri tekrar ettiğimize göre ispatı yapmaya devam edebiliriz.
x ve y pozitif reel sayılar olsun.
Yukarıdaki işlemin sonucunu bulmak için işlem önceliğini kullanıp parantez içiyle başlarız. Parantez içinde toplama işlemine göre tersi olan iki eleman olduğu için parantez içinin sonucu 0 gelir.
Aynı işlemi dağılma özelliği ile inceleyip gerekli dağılımı yaparsak:
Soldaki çarpma işleminde bir pozitif ve bir negatif sayının çarpıldığını görürüz. Çarpma işleminin sonucu negatif olmalıdır. Aynı zamanda işlemin tamamının sonucunun 0 olduğunu da bulmuştuk.
Çarpma işlemini yapıp sonucu 0’a eşitlediğimizde iki negatif sayının çarpımının mutlaka pozitif olması gerektiğini fark ederiz.
Böylelikle 7. sınıf öğrencilerinin tam sayılarda çarpma işlemi konusunda en çok zorlandığı kuralı ispatlamış bulunmaktayız.
